Question

平面内动点M（x，y）与两定点A（-

6

，0），B（

6

，0）的连线的斜率之积为-

1

3

，记动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）定点F（-2，0），T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q．
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当

|TF|

|PQ|

最小时，求点T的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知可得k_MA•k_MB=

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

3

，化简即可得出动点M的轨迹C的方程；
（II）（i）证明：设T（-3，m），则直线TF的斜率k_TF=-m．当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=

1

m

，直线PQ的方程为：x=my-2，当m=0时，也满足上述方程．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与椭圆的方程联立化为（3+m²）y²-4my-2=0，可得y₁+y₂，y₁y₂，x₁+x₂．即可得出PQ的中点N．只要证明直线ON的斜率k_ON=k_OT即可．
（ii）由（i）可得|TF|=

m2+1

．利用弦长公式可得|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

24 (1+m2)

3+m2

．可得

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（I）由已知可得k_MA•k_MB=

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

3

，
化为

x2

6

+

y2

2

=1(y≠0)，
∴动点M的轨迹C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1(y≠0)；

（II）（i）证明：设T（-3，m），则直线TF的斜率k_TF=

m-0

-3-(-2)

=-m．
当m≠0时，直线PQ的斜率k_PQ=

1

m

，直线PQ的方程为：x=my-2，
当m=0时，PQ的方程为：x=-2，也满足上述方程．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，
化为（3+m²）y²-4my-2=0，
△=16m²+8（m²+3）＞0，
∴y₁+y₂=

4m

3+m2

，y₁y₂=

-2

3+m2

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=

-12

m2+3

．
∴PQ的中点N(

-6

3+m2

，

2m

3+m2

)．
∴直线ON的斜率k_ON=-

m

3

．
又直线OT的斜率k_OT=-

m

3

．
∴点N在直线OT上，
∴OT平分线段PQ．
（ii）由（i）可得|TF|=

m2+1

．
|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[( 4m 3+m2 )2- 4×(-2) 3+m2 ]

=

24 (1+m2)

3+m2

．
∴

|TF|

|PQ|

=

1 24 × (m2+3)2 m2+1

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

≥

1 24 ×(4+4)

=

3

3

，当且仅当m=±1时取等号．
∴当

|TF|

|PQ|

最小时，点T的坐标为（-3，±1）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线平分线段问题、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．