Question

已知函数f（x）=ax²-4ax-3
（Ⅰ）当a=-1时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，不等式f（x）＞0可化为（x-1）（x-3）＜0，结合二次函数的图象和性质，可得答案．
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，均有不等式f（x）≤0恒成立，则

a＜0 △≤0

或a=0，进而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，
不等式f（x）＞0即ax²-4ax-3＞0可化为：-x²+4x-3＞0
即x²-4x+3＜0，
即（x-1）（x-3）＜0，
解得1＜x＜3，
故不等式f（x）＞0的解集为（1，3）．…（5分）
（Ⅱ）（1）当a=0时，不等式ax²-4ax-3≤0恒成立；…（7分）
（2）当a≠0时，要使得不等式ax²-4ax-3≤0恒成立，
只需

a＜0 △≤0

，
即

a＜0 (-4a)2-a(-3)≤0

，
解得

a＜0 - 3 4 ≤a≤0

，
即-

3

4

≤a＜0…（10分）
综上所述，a的取值范围为-

3

4

≤a≤0…（12分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．