Question

已知函数f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]，设x=α时，f（x）取到最大值．求f（x）的最大值及α的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：根据三角函数恒等变形化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，由x∈[

π

4

，

π

2

]，可解得f（x）∈[2，3]，由x=α时，f（x）取到最大值，即可解得f（x）的最大值及α的值．

解答： 解：∵f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x
=1-cos（2x+

π

2

）-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1∈[2，3]
∵x=α时，f（x）取到最大值．
∴当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）取到最大值3．

点评：本题主要考查了二倍角的正弦，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．