Question

设f（x）=alnx（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b（b∈R）．
（1）求a、b的值；
（2）设集合A=[1，+∞），集合B={x|f（x）-m（x-

1

x

）≤0}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+b，可求a、b的值；
（2）由A⊆B，可得?x∈[1，+∞），f(x)≤m(x-

1

x

)，即lnx≤m(x-

1

x

)，设g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，分类讨论，结合函数的单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx（a∈R），
∴f′(x)=

a

x

，
由题设f'（1）=1，∴a=1，
又切点为（1，0）在切线y=x+b上，∴b=-1．（4分）
（2）f（x）=lnx，∵A⊆B，∴?x∈[1，+∞），f(x)≤m(x-

1

x

)，即lnx≤m(x-

1

x

)，
设g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，g′(x)=

1

x

-m(1+

1

x2

)=

-mx2+x-m

x2

，（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上为增函数，g（x）≥g（1）=0，
这与题设g（x）≤0矛盾；（9分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²，
当△≤0，即m≥

1

2

时，g'（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立，（12分）
当0＜m＜

1

2

时，方程-mx²+x-m=0，设两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），
x1=

1- 1-4m2

2m

∈(0，1)，x2=

1+ 1-4m2

2m

∈(1，+∞)，
当x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾，
综上所述，m≥

1

2

．…..（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．