Question

已知函数f（x）=m-|x-1|-|x-2|，m∈R，且f（x+1）≥0的解集为[0，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c，x，y，z∈R，且x²+y²+z²=a²+b²+c²=m，求证：ax+by+cz≤1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：高考数学专题

分析：第（1）问中，分离m，由|x|+|x-1|≥1确定将m分“m＜1”与“m≥1”进行讨论；（2）中，可利用重要不等式将x²+a²与ax联系，y²+b²与by联系，z²+c²与cz联系．

解答： 解：（1）由f（x+1）≥0得|x|+|x-1|≤m．
    若m＜1，∵|x|+|x-1|≥1恒成立，∴不等式|x|+|x-1|≤m的解集为∅，不合题意．
    若m≥1，①当x＜0时，得x≥

1-m

2

，∴

1-m

2

≤x＜0；
    ②当0≤x≤1时，得x+1-x≤m，即m≥1恒成立；
    ③当x＞1时，得x≤

m+1

2

，∴1＜x≤

m+1

2

，
    综上可知，不等式|x|+|x-1|≤m的解集为[

1-m

2

，

m+1

2

]．
    由题意知，原不等式的解集为[0，1]，
∴

1-m 2 =0 m+1 2 =1

 解得m=1．
   （2）证明：∵x²+a²≥2xa，y²+b²≥2yb，z²+c²≥2zc，
    以上三式相加，得x²+y²+z²+a²+b²+c²≥2xa+2yb+2zc．
    由题设及（1），知x²+y²+z²=a²+b²+c²=m=1，
∴2≥2（xa+yb+zc），即ax+by+cz≤1，得证．

点评：本题难度与高考相当，第（1）问考查了分段讨论法解绝对值不等式，对参数的讨论是前提；第（2）问要求学生掌握不等式的基本性质，关键是联系第一问求解．