Question

7．若函数$f（x）=sin2ωx+2\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}（ω＞0）$在$[\frac{π}{2}，π]$上单调递减，则ω的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{6}，\frac{1}{4}]$
• B． $[\frac{1}{6}，\frac{7}{12}]$
• C． $[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$
• D． $[0，\frac{1}{2}]$

Answer 1

分析 利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的性质在$[\frac{π}{2}，π]$上单调递减，可得ω的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=sin2ωx+2\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}（ω＞0）$，
化简可得：f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2ωx）-$\sqrt{3}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx$+\frac{π}{3}$）．
∵f（x）在$[\frac{π}{2}，π]$上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{πω+\frac{π}{3}≥\frac{π}{2}+2kπ}\\{2ωπ+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{6}+2k≤ω≤\frac{7}{12}+k$，
∵ω＞0，
当k=0时，可得ω的取值范围为$[\frac{1}{6}，\frac{7}{12}]$．
故选B．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．