Question

17．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a²+b²+c²=ab+bc+ca．
（1）证明△ABC是正三角形；
（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=$\sqrt{7}$，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用配方法可得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，从而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．
（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD

解答 解：（1）证明：∵a²+b²+c²=ab+ac+bc，
∴2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc，
（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=0，
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形
（2）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，
∴AC=2CD，∠ACD=120°，
∴在△ACD中，
由余弦定理可得：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcos∠ACD，
可得：7=4CD²+CD²-4CD•CDcos120°，解得CD=1，
在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD=$\frac{BD•sinB}{AD}$=$\frac{3•\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和配方法的应用，属于中档题．