Question

15．在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b²+c²-a²=2bcsin（B+C）．
（1）求角 A的大小；
（2）若$a=2，B=\frac{π}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可得出．
（2）根据正弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴b²+c²-a²=2bcsinA，
∴$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=sinA$，
由余弦定理得cosA=sinA，可得tanA=1，
又∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{4}$．
（2）根据正弦定理得$b=\frac{a}{sinA}•sinB=\sqrt{6}$，又$sinC=sin（{A+B}）=sin（{\frac{π}{4}+\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•2•\sqrt{6}•\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．