Question

设函数f（x）=|x-3|-|x+1|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜-1；
（Ⅱ）设函数g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,绝对值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ根据函数f（x）=

4 ，x＜-1 2-2x ，-1≤x≤3 -4  ，x＞3

，故由不等式可得 x＞3 或

2-2x＜-1 -1≤x≤3

，从而求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可得当x∈[-2，2]上时，函数g（x）应在函数f（x）的图象的下方，在同一个坐标系中画出函数y=f（x）和y=g（x）的图象，数形结合求得-4≤a≤0，由此求得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x-3|-|x+1|=

4 ，x＜-1 2-2x ，-1≤x≤3 -4  ，x＞3

，
故由不等式f（x）＜-1可得 x＞3 或 

2-2x＜-1 -1≤x≤3

．
解得 x＞

3

2

．
（Ⅱ）∵函数g（x）=|x+a|-4，且g（x）≤f（x）在
x∈[-2，2]上恒成立，
∴|x+a|-4≤|x-3|-|x+1|在x∈[-2，2]上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数y=f（x）和y=g（x）的图象，如图所示：
故当x∈[-2，2]时，若0≤-a≤4时，
则函数g（x）在函数f（x）的图象的下方，g（x）≤f（x）在x∈[-2，2]上恒成立，
求得-4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[-4，0]．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．