Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*）．若b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，则数列{b_n}的前n项和T_n=-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式可得数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，a_n=n，则b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），再分n为偶数和奇数两种情况求出前n项和．

解答 解：∵2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*）．
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1•a_n，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a₁=1，
∴a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）=2，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）=n，
∴b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•$\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n=-（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）+…+（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
当n为偶数时，T_n=-1+$\frac{1}{n+1}$，
当n为奇数时，T_n=-1+$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=-1-$\frac{1}{n+1}$，
综上所述T_n=-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$，
故答案为：-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$．

点评 本题考查了数列的递推公式关系式，和数列的通项公式，以及数列的前n项和，属于中档题．