Question

3．已知直线y=x-2与抛物线y²=2x相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，求得y₁y₂及x₁x₂，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，即可证明OA⊥OB；
（2）利用弦长公式即可求得|AB|．

解答 解：（1）证明：设A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：y²-2y-4=0，
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=4+（-4）=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．
（2）由（1）可知：x₁+x₂=（y₁+2）+（y₂+2）=y₁+y₂+4=6，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4×4}$=2$\sqrt{10}$，
∴|AB|=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．