Question

16．已知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，数列{b_n}满足b_n=log₂$\frac{1}{a_n}$，则数列{a_nb_n}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{{{2^{n+1}}-n-2}}{2^n}$
• B． $\frac{{{2^{n+1}}-n-2}}{{{2^{n+1}}}}$
• C． $\frac{{{2^{n+1}}-n-1}}{2^n}$
• D． $\frac{{{2^{n+1}}-n-1}}{{{2^{n+1}}}}$

Answer 1

分析 求出数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式代入a_nb_n，利用错位相减法求得其前n项和S_n．

解答 解：∵数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴b_n=log₂$\frac{1}{a_n}$=n，
∴a_nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．①
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．②
①-②得$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-（1+$\frac{n}{2}$）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{{2}^{n+1}-n-2}{{2}^{n}}$
故选：A．

点评 考查等差数列和等比数列的通项公式、错位相减法求数列的前项和S_n，属中档题．