Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求证：平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁
（3）求A₁B₁与平面A₁CD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，设AC₁与A₁C相交于点E，连接DE，则DE∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）推导出CD⊥AA₁，CD⊥AB，从而CD⊥面ABB₁A₁，由此能证明平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．
（3）作B₁E⊥A₁D于E，则∠B₁A₁E为所A₁B₁与平面A₁CD所成角，由此能求出A₁B₁与平面A₁CD所成角的正切值．

解答 证明：（1）连结AC₁，设AC₁与A₁C相交于点E，连接DE，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁A₁A是平行四边形，
∴E为AC₁中点，
∵D为AB的中点，∴DE∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DE?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．…（4分）
（2）∵A₁A⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA₁，
又∵CD⊥AB，AB∩AA₁=A，AB，A₁A?面ABB₁A₁，
∴CD⊥面ABB₁A₁，
∵CD?面A₁CD，∴平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
解：（3）作B₁F⊥A₁D于F，
由（2）知B₁F⊥面A₁DC，
∴∠B₁A₁F为所A₁B₁与平面A₁CD所成角，
tan∠B₁A₁F=tan∠ADA₁=2，
∴A₁B₁与平面A₁CD所成角的正切值为2．…（13分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正切值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．