题目内容
已知椭圆的焦距是8，椭圆上任意一点到两焦点F1、F2的距离之和为10．
（1）求椭圆方程；
（2）在（1）的椭圆上求一点P，使PF1⊥PF2．
（1）求椭圆方程；
（2）在（1）的椭圆上求一点P，使PF1⊥PF2．
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由已知条件结合椭圆定义知2c=8，2a=10，由此能求出椭圆方程．
（2）当P在椭圆上，且PF1⊥PF2时，S△PF1F2=b2tan45°，由此能求出P点坐标．
（2）当P在椭圆上，且PF1⊥PF2时，S△PF1F2=b2tan45°，由此能求出P点坐标．
解答：
解：（1）椭圆的焦距是8，椭圆上任意一点到两焦点F1、F2的距离之和为10，
∴2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
∴b=
=3，
∴椭圆方程为
+
=1或
+
=1．
（2）当P在椭圆
+
=1上，且PF1⊥PF2时，
S△PF1F2=b2tan45°=9，
设P点纵坐标为y，
∵S△PF1F2=
|PF1F2||y|=c|y|=4|y|=9，
∴y=±
，把y=±
代入椭圆
+
=1，解得x=±
．
∴P点坐标为（
，
）或（
，-
）或（-
，
）或（-
，-
）．
当P在椭圆
+
=1上，且PF1⊥PF2时，
S△PF1F2=b2tan45°=9，
设P点纵坐标为x，
∵S△PF1F2=
|F1F2||x|=c|x|=4|x|=9，
∴x=±
，把x=±
代入椭圆
+
=1，解得y=±
．
∴P点坐标为（
，
）或（
，-
）或（-
，
）或（-
，-
）．
∴2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
∴b=
| 25-16 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
（2）当P在椭圆
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
S△PF1F2=b2tan45°=9，
设P点纵坐标为y，
∵S△PF1F2=
| 1 |
| 2 |
∴y=±
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
5
| ||
| 4 |
∴P点坐标为（
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
当P在椭圆
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
S△PF1F2=b2tan45°=9，
设P点纵坐标为x，
∵S△PF1F2=
| 1 |
| 2 |
∴x=±
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 25 |
5
| ||
| 4 |
∴P点坐标为（
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
| 9 |
| 4 |
5
| ||
| 4 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆上指定点的坐标的求法，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．
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已知a∈（0，
）那么（ ）
| π |
| 4 |
| A、sinα＞cosα |
| B、sinα＜cosα |
| C、sinα≥cosαD |
| D、sina≤cosa |
如图，椭圆