Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=xa_n，其中S_n是数列a_n的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式，用带x式子表示；
（2）数列{b_n}中，b_n=

an

Sn

，求{b_n}通项公式，并探究b_n与b_n+1的大小关系．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）对x进行分类讨论，利用等比数列的通项及求和公式，可得结论；
（2）对x进行分类讨论，确定出b_n与b_n+1，即可比较大小．

解答： 解：（1）若x=0，易知S_n=1；
若x≠0，则 ①当x=1时，数列{a_n}是常数数列，易知S_n=n；
②当x≠1时，数列{a_n}是首项为1，公比为x的等比数列，易知：S_n=

1-xn

1-x

．
（2）若x=0，∵a_n=

1，n=1 0，n＞1

，∴b_n=

1，n=1 0，n＞1

，
则当n=1时，有b_n＞b_n+1；当n＞1时，b_n=b_n+1=0．
若x≠0，则：
①当x=1时，∵a_n=1，∴b_n=

1

n

，此时，总有b_n＞b_n+1．
②当x≠1时，∵an=xn-1，考虑x=-1时，S_n=

1，n为奇数 0，n为偶数

，
此时b_n=

(-1)n-1，n为奇数 无意义，n为偶数

，此时，不存在比较大小的问题．
故当x≠1且x≠-1时，有b_n=

xn-1(1-x)

1-xn

此时数列{b_n}的前几项为1，

x

1+x

，

x2

1+x+x2

，…，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，总有b_n＞b_n+1；
当x∈（-1，0）时，若n为奇数，有b_n＞b_n+1；若n为偶数，有b_n＜b_n+1；
当x∈（-∞，-1）时，若n为奇数，有b_n＜b_n+1；若n为偶数，有b_n＞b_n+1．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．