Question

18．记min{a，b，c}为实数a，b，c中最小的一个，已知函数f（x）=-x+1图象上的点（x₁，x₂+x₃）满足：对一切实数t，不等式-t²-${2}^{{x}_{1}^{2}}$t-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$+4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$≤0均成立，如果min{-x₁，-x₂，-x₃}=-x₁，那么x₁的取值范围是$[\frac{1}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 函数f（x）=-x+1图象上的点（x₁，x₂+x₃），可得x₂+x₃=-x₁+1．由于min{-x₁，-x₂，-x₃}=-x₁，可得-x₂＞-x₁，-x₃≥-x₁，可得x₁$≥\frac{1}{3}$．对一切实数t，不等式-t²-${2}^{{x}_{1}^{2}}$t-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$+4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$≤0均成立，可得△≤0，化为：$（{2}^{{x}_{1}^{2}}-{2}^{3-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}）^{2}$≤0，解出即可得出．

解答 解：函数f（x）=-x+1图象上的点（x₁，x₂+x₃），∴x₂+x₃=-x₁+1．
∵min{-x₁，-x₂，-x₃}=-x₁，∴-x₂＞-x₁，-x₃≥-x₁，∴x₂≤x₁，x₃≤x₁，∴-x₁+1≤2x₁，解得x₁$≥\frac{1}{3}$．
对一切实数t，不等式-t²-${2}^{{x}_{1}^{2}}$t-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$+4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$≤0均成立，
∴△=$（-{2}^{{x}_{1}^{2}}）^{2}$+4（4${\;}^{2-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$-2${\;}^{2+{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}$）≤0，
化为：$（{2}^{{x}_{1}^{2}}-{2}^{3-{x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}}）^{2}$≤0，
∴${x}_{1}^{2}$≤$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$，或${x}_{1}^{2}$≥$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$，
∵x₂+x₃=-x₁+1，
∴2（${x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}$）≥$（{x}_{2}+{x}_{3}）^{2}$=$（1-{x}_{1}）^{2}$，
∴${x}_{1}^{2}$≤$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$≤3-$\frac{1}{2}$$（1-{x}_{1}）^{2}$，及x₁$≥\frac{1}{3}$，解得$\frac{1}{3}$≤x₁≤$\frac{5}{3}$．
或${x}_{1}^{2}$≥$3-{x}_{2}^{2}$-${x}_{3}^{2}$，则${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$+${x}_{3}^{2}$-3≥${x}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$$（1-{x}_{1}）^{2}$-3≥0，及x₁$≥\frac{1}{3}$，解得${x}_{1}≥\frac{5}{3}$．
综上可得：x₁的取值范围是$[\frac{1}{3}，+∞）$．
故答案为：$[\frac{1}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．