Question

8．已知直线x+ay-2=0与圆心为C的圆（x-a）²+（y-1）²=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为$\sqrt{3}$，根据点到直线的距离公式即可得到结论．

解答 解：圆（x-a）²+（y-1）²=4的圆心C（a，1），半径R=2，
∵直线和圆相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心到直线的距离为Rsin60°=$\sqrt{3}$，
即d=$\frac{|2a-2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
平方得a²-8a+1=0，
解得a=4±$\sqrt{15}$，
故答案为：4±$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键．