Question

7．已知函数$f（x）=kx-（k+1）lnx-\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）当$k=\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e=2.71828…）

Answer 1

分析 （Ⅰ）当$k=\frac{1}{2}$时，化简函数f（x）的解析式，利用函数的导数求解函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当0＜k＜1时，求出函数f（x）在区间[1，e]上的最大值，然后判断结果即可．

解答 解：（Ⅰ）因为$f（x）=kx-（k+1）lnx-\frac{1}{x}$，
所以$f'（x）=k-\frac{k+1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{{k{x^2}-（k+1）x+1}}{x^2}$，…．（1分）
当$k=\frac{1}{2}$时，$f'（x）=\frac{{\frac{1}{2}（x-2）（x-1）}}{x^2}$．…．（2分）
令$f'（x）=\frac{{\frac{1}{2}（x-2）（x-1）}}{x^2}=0$，得x₁=1，x₂=2，…．（3分）
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…．（6分）
所以f（x）在x=1处取得极大值$f（1）=-\frac{1}{2}$，
在x=2处取得极小值$f（2）=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}ln2$．…．（7分）
函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（1，2）．…．（8分）
（Ⅱ）证明：不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解，等价于f（x）≤1在区间[1，e]上恒成立，
即函数f（x）在区间[1，e]上的最大值小于等于1．
因为$f'（x）=\frac{{k（x-\frac{1}{k}）（x-1）}}{x^2}$，
令f′（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{k}，{x_2}=1$．…．（9分）
因为0＜k＜1时，所以$\frac{1}{k}＞1$．
当$\frac{1}{k}≥e$时，f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，函数f（x）在区间[1，e]上单调递减，…．（10分）
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）=k-1＜1，
所以不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解；…．（11分）
当$\frac{1}{k}＜e$时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	$（1，\frac{1}{k}）$	$\frac{1}{k}$	$（\frac{1}{k}，e）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）或f（e）．…．（12分）
此时f（1）=k-1＜1，$f（e）=ke-（k+1）-\frac{1}{e}$，
所以$f（e）-1=ke-（k+1）-\frac{1}{e}-1$=$k（e-1）-2-\frac{1}{e}＜（e-1）-2-\frac{1}{e}=e-3-\frac{1}{e}＜0$．
综上，当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．…．（13分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．