Question

3．若直线ax+2by-4=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由于直线ax+2by-4=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，可得直线l经过圆心M（2，1），a+b=2．再利用“乘1法”、基本不等式的性质即可得出最小值．

解答 解：∵直线ax+2by-4=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长
∴直线经过圆心M（2，1），
∴2a+2b-4=0，即a+b=2．
∵a，b＞0，
即有$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{a}}$）=2，
当且仅当a=b=1时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为2．
故选：C．

点评 本题考查了“乘1法”、基本不等式的性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．