Question

定义在R上的偶函数f （x）满足：对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，又f （-3）=1，则不等式f （x）＜1的解集为（　　）

• A、{x|x＜-3或x＞3}
• B、{x|x＜-3或0＜x＜3}
• C、{x|x＞3或-3＜x＜0}
• D、{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，可推断f（x）在[0，+∞）上单调递减，又由于f（x）是偶函数，可知在（-∞，0]单调递增．进而由f （3）=f （-3）=1，可得不等式f （x）＜1的解集．

解答： 解：∵对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）在（-∞，0]单调递增．
∵f （3）=f （-3）=1，
由f （x）＜1得：x＜-3或x＞3，
∴不等式f （x）＜1的解集为{x|x＜-3或x＞3}，
故选：A

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．