Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意，

1-x＞0 x+3＞0

，从而求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）函数的零点即方程log_a（1-x）（x+3）=0的解，从而求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）由f（x）=log_a（1-x）（x+3）的最大值为2可得f（-1）=log_a（1+1）（-1+3）=log_a4=2，从而求a的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，

1-x＞0 x+3＞0

，
解得，-3＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（-3，1）；
（Ⅱ）f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）=log_a（1-x）（x+3），
令log_a（1-x）（x+3）=0，
则（1-x）（x+3）=1，
则x=

3

-1，x=-

3

-1；
即函数f（x）的零点为

3

-1，-

3

-1；
（Ⅲ）∵f（x）=log_a（1-x）（x+3）的最大值为2，
∴f（-1）=log_a（1+1）（-1+3）=log_a4=2，
则a=2．

点评：本题考查了函数的定义域，零点及最值的求法，函数的零点转化为方程的根，属于中档题．