Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，F₁，F₂是其焦点，点P在椭圆上．
（Ⅰ）若∠F₁PF₂=90°，且△PF₁F₂的面积等于1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线PF₁交椭圆于另一点Q，分别过点P，Q作直线PQ的垂线，交x轴于点M，N，当|MN|取最小值时，求直线PQ的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由已知可得：

1 2 mn=1 m2+n2=(2c)2 m+n=2a c a = 2 2 ，a2=b2+c2

，解得即可；
（II）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，可得

c

a

=

2

2

，可得椭圆的方程可化为x²+2y²=2c²．
由题意可知PQ的斜率存在，设PQ的方程为：y=k（x+c），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．（k≠0）．与椭圆方程联立可得化为（1+2k²）x²+4k²cx+2k²c²-2c²=0，
直线PM的方程为：y-y1=-

1

k

(x-x1)，令y=0，可得x_M=x₁+ky₁．同理可得x_N=x₂+ky₂，把根与系数的关系代入|MN|=|x₂-x₁+k（y₂-y₁）|=|1+k²||x₂-x₁|=|1+k²|

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)3 (1+2k2)2

．令t=1+k²＞1，f（t）=

t3

(2t-1)2

，利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：（I）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由已知可得：

1 2 mn=1 m2+n2=(2c)2 m+n=2a c a = 2 2 ，a2=b2+c2

，解得b²=1，c=1，a²=2．
∴椭圆的标准方程为：

x2

2

+y2=1．
（II）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，可得

c

a

=

2

2

，a=

2

c=

2

b，
∴椭圆的方程可化为x²+2y²=2c²．
由题意可知PQ的斜率存在，设PQ的方程为：y=k（x+c），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．（k≠0）．
联立

y=k(x+c) x2+2y2=2c2

，化为（1+2k²）x²+4k²cx+2k²c²-2c²=0，
∴x₁+x₂=

-4k2c

1+2k2

，x1x2=

2k2c2-2c2

1+2k2

，
直线PM的方程为：y-y1=-

1

k

(x-x1)，令y=0，可得x_M=x₁+ky₁．
同理可得x_N=x₂+ky₂，
∴|MN|=|x₂-x₁+k（y₂-y₁）|=|1+k²||x₂-x₁|=|1+k²|

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

c

(1+k2)3 (1+2k2)2

．
令t=1+k²＞1，f（t）=

t3

(2t-1)2

，则f′（t）=

3t2(2t-1)2-t3•4(2t-1)

(2t-1)4

=

t2(2t-3)

(2t-1)3

．
令f′（t）＞0，解得t＞

3

2

，此时函数f（t）单调递增；令f′（t）＜0，解得1＜t＜

3

2

，此时函数f（t）单调递减．
∴当t=

3

2

时，函数f（t）取得最小值，f(

3

2

)=

27

32

，即k2=

1

2

时，|MN|取得最小值2

2

c×

27 32

=

3 3 c

2

．
当k=0时，可得|MN|=2a=2

2

c．
而2

2

c＞

3 3 c

2

．
∴当|MN|取最小值时

3 3 c

2

，直线PQ的斜率k=±

2

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．