Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．
（1）证明：CD⊥平面POC；
（2）求三棱锥O-PCD的高．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（2）利用等积法求三棱锥的高．

解答： 证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，
∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO?侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=2
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=1
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=8
∴OC²+CD²=OD²，
∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
（2）设三棱锥O-PCD的高为h，因为平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．
所以PO⊥平面ABCD，PO=2

2

，OC=

2

，OD=

10

，PC=

10

，
由（1）得OC⊥CD，CD⊥PC，所以CD=2

2

，
由V_P-OCD=V_O-PCD得

1

3

×S△OCD×PO=

1

3

×S△PCDh，所以

1

3

×

1

2

×OC×OD×OP=

1

3

×

1

2

×PC×CDh，即

2

×

10

×2

2

=

10

×2

2

h，解得h=

2

；
所以三棱锥O-PCD的高

2

．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用以及利用等积法球三棱锥的高，体现了转化的思想．