Question

已知f（x）=

3

2

sin2x+cos2x-

3

2

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，方程f（x）-m=0有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简求得解析式f(x)=sin(2x+

π

6

)-1，根据正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
（2）先求得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而可得f(x)∈[-

3

2

，0]，由f（x）=m，即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-1=sin(2x+

π

6

)-1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)-1…（2分）
∴最小正周期为π…（4分）
令∴z=2x+

π

6

．函数f（x）=sinz-1的单调递增区间是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（6分）
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
f(x)∈[-

3

2

，0]，
∵f（x）=m，
∴m∈[-

3

2

，0]…（12分）．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象与性质，属于基础题．