Question

9．已知函数f（x）=x²+bx过（1，3）点，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S_n的值为（　　）

• A． $\frac{n+1}{n+2}$
• B． $\frac{n+1}{2n+4}$
• C． $\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$
• D． $\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

Answer 1

分析 利用数列与函数的关系求出b，得到数列的通项公式，然后利用裂项法求解数列的和即可．

解答 解：函数f（x）=x²+bx过（1，3）点，
可得：3=1+b，解得b=2，
可知：f（n）=n（n+2），∴$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故选：D．

点评 本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．