Question

如果双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+2相切，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把双曲线的渐近线与抛物线的方程联立，利用△=0及双曲线的离心率计算公式即可得出．

解答： 解：取双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线y=

b

a

x，
联立

y= b a x y=x2+2

，化为x2-

b

a

x+2=0．
∵渐近线与抛物线y=x²+2相切，∴△=(

b

a

)2-8=0．
∴

b2

a2

=8．
∴双曲线的离心率e=

1+ b2 a2

=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切转化为一元二次方程的判别式△=0，考查了计算能力与推理能力，属于基础题．