Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为${F_1}{、_{_1}}{F_2}$，点B是双曲线的右顶点，A是其虚轴的端点，如图所示．若${S_{△AB{F_2}}}=\frac{1}{4}{S_{△AOB}}$，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角或直角）的正切值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{24}{7}$
• C． $-\frac{21}{24}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由题意可得A（0，b），B（a，0），F₂（c，0），运用三角形的面积公式，结合双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，可得渐近线方程，再由两直线夹角的正切公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（0，b），B（a，0），F₂（c，0），
由${S_{△AB{F_2}}}=\frac{1}{4}{S_{△AOB}}$，
可得$\frac{1}{2}$b•（c-a）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$ab，
即有c=$\frac{5}{4}$a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x，
则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为：
|$\frac{\frac{3}{4}-（-\frac{3}{4}）}{1-\frac{9}{16}}$|=$\frac{24}{7}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查三角形的面积公式的运用，以及运算能力，属于中档题．