Question

10．某工厂为制定下一阶段生产某种产品的方案，工厂技术部门开展了两项统计，其一是对该厂48名师傅生产的产品精度情况进行了调查，得到如下的2×2列联表1（单位：个）；其二是对某师傅加工零件个数n₁（单位：个）和加工时间t₁（单位：小时，i-1，2，…6）作了6次试验，并对获得的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值如表2．
表1：48名师傅生产的产品精度统计表（单位：个）

类别	达到精品级	未达到精品级	总计
高级技工	22	6	28
中级技工	10	10	20
总计	32	16	48

表2：

$\overline{n}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}$	$\overline{t}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}{t}_{i}$	$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}$ 2	$\sum_{i=1}^{6}{t}_{i}$ 2	$\sum_{i=1}^{6}{n}_{i}{t}_{i}$	$\sum_{i=1}^{6}$（ni-$\overline{n}$）2	$\sum_{i=1}^{6}$（ti-$\overline{t}$）2	$\sum_{i=1}^{6}$（ni-$\overline{n}$）（ti-$\overline{t}$）
4.5	4.125	139	109.562	112.75	17.5	7.468	11.375

（1）判断是否有95%的把握人物产品达到精品级与师傅的职称有关？说明你的理由；
（2）根据散点图判断t与n是否具有线性相关关系？若具有，依据表中数据求出t关于n的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并预测该师傅加工10个零件需要多少时间？
附：（1）参考临界值有：
参考公式：K²=$\frac{m（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中m=a+b+c+d．
（2）对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归线$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据列联表，计算观测值K²，对照临界值得出结论；
（2）根据散点图中各点分布特征，判断两个变量是否有线性相关关系；计算平均数与回归系数，写出回归方程，利用回归方差计算n=10时$\stackrel{∧}{t}$的值．

解答 解：（1）根据列联表，计算K²=$\frac{48{×（22×10-10×6）}^{2}}{32×16×28×20}$≈4.286＞3.841，
对照临界值表，得出有95%的把握认为产品达到精品级与师傅的职称有关；
（2）根据散点图中各点成带状分布，得出两个变量具有线性相关关系；
计算$\overline{n}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$n_i=4.5，$\overline{t}$=$\frac{1}{6}$$\sum_{i=1}^{6}$t_i=4.125；
回归系数为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{11.375}{17.5}$=0.65，
$\widehat{a}$=$\overline{t}$-$\widehat{b}$$\overline{n}$=4.125-0.65×4.5=1.2，
∴t关于n的线性回归方程是$\stackrel{∧}{t}$=0.65n+1.2；
当n=10时，$\stackrel{∧}{t}$=0.65×10+1.2=7.7，
∴预测加工10个零件需要7.7小时．

点评 本题考查了独立性检验与线性回归方程的应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．