Question

7．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，
（1）求证：MN∥平面PAD
（2）若PA=AD，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥AD，PA⊥AB，从而AB⊥平面PAD，取CD中点O，连结MO、NO，推导出平面MON∥平面PAD，从而AB⊥平面MON，由此能证明MN⊥AB．
（2）由（1）得MN⊥CD，取PD中点G，连结AG、NG，则四边形AMNG是平行四边形，推导出MN⊥PD，由此能证明MN⊥平面PCD．

解答 明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
取CD中点O，连结MO、NO，
∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MO∥AD，NO∥PD，
∵MO∩NO=O，AD∩PD=D，
MO，NO?平面MON，AD、PD?平面PAD，
∴平面MON∥平面PAD，
∴AB⊥平面MON，∴MN⊥AB．
（2）∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD，
取PD中点G，连结AG、NG，则NG∥DC，NG=$\frac{1}{2}$DC，∵AM∥DC，AM=$\frac{1}{2}DC$，
∴四边形AMNG是平行四边形，MN∥AG，
∵PA=AD，G是PD中点，∴AG⊥PD，∴MN⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴MN⊥平面PCD．

点评 本题考查异面直线垂直\线面垂直的判定、空间思维能力．属于中档题．