Question

13．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设棱长为a，过BD且与直线AC₁平行的截面面积是（　　）

• A． $\frac{a^2}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}{a^2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$

Answer 1

分析 如图连结AC交BD与O，连结OE，由OE∥AC₁，得AC₁∥平面BDE，求出△BDE的面积即可．

解答 解：如图连结AC交BD与O，连结OE，
因为O、E分别是AC、CC₁的中点，
∴OE∥AC₁，
又因为OE?平面BDE，AC₁?平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE，∴△DBE就是过BD且与直线AC₁平行的截面．
易得△DBE是等腰△，且DB⊥OE
在△DBE中，BD=$\sqrt{2}a$，OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
∴${S}_{△DBE}=\frac{1}{2}×DB×OE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×$$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了线线垂直、线面平行的判定，属于基础题．