Question

8．函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3+2$\sqrt{3}$
• C． 7
• D． 11

Answer 1

分析 函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-1，-1），可得m+n=1．于是$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：函数y=log_a（x+2）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-1，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，∴-m-n+1=0，即m+n=1．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当n=$\sqrt{2}$m=2-$\sqrt{2}$时取等号．
故选：A．

点评 本题考查了对数函数的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．