Question

18．在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂²=a₃+a₆，且a₃为a₁与a₁₁的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n•2^a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出数列的公差，求出首项，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简新数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，∵${a_2}^2={a_3}+{a_6}$，∴${（{a_1}+d）^2}={a_1}+2d+{a_1}+5d$①
∵${a_3}^2={a_1}•{a_{11}}$即${（{a_1}+2d）^2}={a_1}•（{a_1}+10d）$②
∵d≠0，由①②解得a₁=2，d=3…（4分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-1．…（6分）
（Ⅱ）${b_n}={a_n}•{2^{a_n}}=（3n-1）•{2^{3n-1}}$，
∴${T_n}=2•{2^2}+5•{2^5}+8•{2^8}+…+（3n-4）•{2^{3n-4}}+（3n-1）•{2^{3n-1}}$①
$8{T_n}=2•{2^5}+5•{2^8}+…+（3n-4）•{2^{3n-1}}+（3n-1）•{2^{3n+2}}$②
①-②得$-7{T_n}=2•{2^2}+3•{2^5}+3•{2^8}+…+3•{2^{3n-1}}-（3n-1）•{2^{3n+2}}$…（9分）
∴${T_n}=\frac{40}{49}+\frac{21n-10}{49}•{2^{3n+2}}$，
∴数列{b_n}的前n项和${T_n}=\frac{{40+（21n-10）{2^{3n+2}}}}{49}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式以及数列求和的方法错位相减法求和，考查计算能力．