Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点．
（1）求证：CD∥平面POA；
（2）若PO⊥底面ABCD，CD⊥PB，AD=PO=2，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）延长CO交CB于点H，可得$\frac{DA}{BH}=\frac{DO}{OB}=1$，DA=BH=CH，即四边形DCHA为平行四边形，DC∥CO，CD∥平面POA；
（2）由（1）得DC∥AO，DA=BH=CH∴AO⊥OB，四边形ABHD为菱形，即AO⊥面POD，过O作OM⊥PD于H，连接AH，则∠AHO就是二面角A-PD-B的平面角，求解△AOM即可

解答 解：（1）延长CO交CB于点H．
∵AD∥BC，BC=2AD，O为BD的中点
∴$\frac{DA}{BH}=\frac{DO}{OB}=1$，∴DA=BH=CH，
∴四边形DCHA为平行四边形，即∴DC∥AO，
且AO?平面POA，CD?平面POA，∴CD∥平面POA；
（2）如图，∵CD⊥PB，由（1）得DC∥AO，DA=BH=CH∴AO⊥OB，四边形ABHD为菱形
∴AO⊥面POD，过O作OM⊥PD于H，连接AH，则∠AHO就是二面角A-PD-B的平面角．
∵AD=PO=2，∴BC=2，OH=1，OB=1
在Rt△CDB中，CD=AB=2，CB=4，则DB=2$\sqrt{3}$
在Rt△PDO中，则有PO•OD=PD•OM，解得OM=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{A{O}^{2}+O{M}^{2}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}}$
cos$∠ANO=\frac{OM}{AM}=\frac{2\sqrt{57}}{19}$．
∴二面角A-PD-B的余弦值为$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，面面角的计算，考查了计算能力，属于中档题．