Question

3．已知数列{a_n}是公比不等于1的等比数列，前n项和为S_n，a₁₁=512，且S₈、S₇、S₉成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=n|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁₁=512，且S₈、S₇、S₉成等差数列，求出首项、公比即可；
（Ⅱ）利用错位相减法求和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列数列{a_n}的公比为q（q不等于1），
∵S₈、S₇、S₉成等差数列，∴2S₇=S₈+S₉，⇒2a₈+a₉=0，q=$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}=-2$，
∵a₁₁=a₁×q¹⁰=512，∴a₁=$\frac{1}{2}$，∴a_n=$\frac{1}{2}$×（-2）^n-1．
（Ⅱ）依题意有b_n=n|a_n|=n•2^n-2，数列{b_n}的前n项和为T_n'
 T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×1+3×2+…+n×2^n-2
2T_n=1×1+2×2+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1
所以-2T_n=$\frac{1}{2}$+1+2¹+2²+…+2^n-1-n×2^n-1
=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n-1}=-\frac{1}{2}+{2}^{n-1}-n×{2}^{n-1}$
 T_n=$\frac{1}{2}$+（n-1）×2^n-1

点评 本题考查了等比数列的运算，及错位相减法求和，属于基础题．