题目内容

14．函数f（x）=（2x-2）2+（2-x+2）2-10在区间[1，2]上的最大值与最小值之积为$\frac{15}{4}$．

分析 求出f′（x）=2（2x-2）•2xln2-2（2-x+2）•2-xln2，由此利用导数性质能求出f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值之积．

解答 解：∵f（x）=（2x-2）2+（2-x+2）2-10
∴f′（x）=2（2x-2）•2xln2-2（2-x+2）•2-xln2，
由f′（x）=0，解得x=$lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$，
$f（lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}））$=（${2}^{lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）}$-2）2+（${2}^{-lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）}$+2）2-10
=（$\sqrt{2}-1$）2+（$\sqrt{2}+1$）2-10=-4，
f（1）=（2-2）2+（$\frac{1}{2}+2$）2-10=-$\frac{15}{4}$，
f（2）=（22-2）2+（2-2+2）2-10=-$\frac{15}{16}$，
∴f（x）=（2x-2）2+（2-x+2）2-10在区间[1，2]上的最大值为-$\frac{15}{16}$，最小值为-4，
∴f（x）=（2x-2）2+（2-x+2）2-10在区间[1，2]上的最大值与最小值之积为：$（-\frac{15}{16}）×（-4）$=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查函数在闭区间上的最大值与最小值之积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

练习册系列答案
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