Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD=2，AB=4，BD=2$\sqrt{3}$
（1）求证；PA⊥BD
（2）求二面角D-BC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质得BD⊥面PAD，即可证得DB⊥PA．
（2）二面角D-BC-P的余弦值即二面角A-BC-P的余弦值，作PO⊥AD于O，则PO⊥面ABCD．过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A-BC-P的平面角，在△PEO中，求得cos∠PEO=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即可得二面角D-BC-P的余弦值

解答 解：（1）在△ABD中，AD⊥DB，
由平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥面PAD，∴DB⊥PA．
（2）二面角D-BC-P的余弦值即二面角A-BC-P的余弦值，
作PO⊥AD于O，则PO⊥面ABCD．
过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A-BC-P的平面角．
又△PEO中，PO=$\sqrt{3}$，OE=DB=2$\sqrt{3}$，故PE=$\sqrt{15}$，
cos∠PEO=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角D-BC-P的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间线线位置关系，面面角的求解，属于中档题．