Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是边长为$\sqrt{3}$的正方形，BC=3，D为BC上的一点，且平面ADB₁⊥平面BCC₁B₁．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）若B₁D与平面ABC所成角为60°，求三棱锥A₁-CB₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）过B点作BE⊥B₁D，垂足为E，则BE⊥平面ADB₁，于是BE⊥AD，结合AD⊥BB₁得出AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）利用勾股定理计算BD，B₁D，AB₁，得出AD，CD，代入体积公式计算即可．

解答 （1）证明：在四边形BB₁CC₁中，过B点作BE⊥B₁D，垂足为E．
∵平面AB₁D⊥平面BCC₁B₁，平面AB₁D∩平面BCC₁B=B₁D，BE?平面BCC₁B₁，
∴BE⊥平面AB₁D，又∵AD?平面AB₁D，
∴AD⊥BE．
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB₁．又BB₁∩BE=B，BB₁，BE?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：∵BB₁⊥平面ABC，
∴∠B₁DB是B₁D与平面ABC所成的角，即∠B₁DB=60°．
在RtB₁BD中，$B{B_1}=\sqrt{3}$，∴BD=1，B₁D=2，
又BC=3，∴CD=2．
∴${S_{△C{B_1}D}}=\frac{1}{2}•CD•B{B_1}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，∵AA₁∥BB₁，
∴点A₁到平面CB₁D的距离等于点A到平面CB₁D的距离．
由（1）得AD⊥平面BCC₁B₁，
∵AB₁=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{6}$，∴$AD=\sqrt{A{B^2}-B{D^2}}=\sqrt{2}$．
∴${V_{{A_1}-C{B_1}D}}={V_{A-C{B_1}D}}=\frac{1}{3}{S_{△C{B_1}D}}•AD=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．