Question

11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为4π，且对?x∈R，有f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）成立，则关于函数f（x）的下列说法中正确的是（　　）
①φ=$\frac{π}{6}$
②函数f（x）在区间[-π，π]上递减；
③把g（x）=sin$\frac{x}{2}$的图象向左平移$\frac{π}{3}$得到f（x）的图象；
④函数f（x+$\frac{4π}{3}$）是偶函数．

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③④
• D． ①④

Answer 1

分析 根据题意，求出函数f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为4π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=4π，∴ω=$\frac{1}{2}$；
又对?x∈R，有f（x）≤f（$\frac{2π}{3}$）成立，
∴x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最大值，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，①正确；
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
当x∈[-π，π]时，$\frac{1}{2}$x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，函数f（x）不是单调递减函数，②错误；
把g（x）=sin$\frac{x}{2}$的图象向左平移$\frac{π}{3}$，得y=sin$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）的图象，
即为f（x）的图象，③正确；
函数f（x+$\frac{4π}{3}$）=sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{4π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{5π}{6}$），它不是偶函数，④错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：A．

点评 本题主要考查了求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，也考查了正弦函数的图象和性质的应用问题，是中档题．