Question

已知函数f（x）=x²+ax+3-a，若x∈[-2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件知，x∈[-2，2]时，x²+ax+3-a≥0恒成立，令f（x）=x²+ax+3-a，利用二次函数在端点的函数值，对称轴以及函数的最小值列出不等式组，求解可得a的取值范围．

解答： 解：原不等式变成：x²+ax+3-a≥0，令f（x）=x²+ax+3-a，则由已知条件得：

f(-2)=7-3a≥0 - a 2 ≤-2

，或

f(2)=7+a≥0 - a 2 ≥2

，或

-2＜- a 2 ＜2 12-4a-a2 4a ≥0

，
解

f(-2)=7-3a≥0 - a 2 ≤-2

可得：a∈∅；
解：

f(2)=7+a≥0 - a 2 ≥2

可得：-7≤a≤-4；
解：

-2＜- a 2 ＜2 12-4a-a2 4a ≥0

可得：-6≤a≤2；
综上：-7≤a≤2；
∴a的取值范围为[-7，2]．
故答案为：[-7，2]．

点评：考查二次函数和一元二次不等式的关系，一元二次不等式解的情况，可结合图象求解．