Question

若已知数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列．试证明：对于任意的n（n∈N^*，n≥1），均存在正整数c_n，使得b_n+1=a_cn，并求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列，可求数列{a_n}的通项公式，利用S_n=3ⁿ-t，再写一式，即可求出{b_n}的通项公式；
（2）先确定t的值，可得数列的通项，要使bn+1=acn成立，则bn+1=2×3n=6cn-12，利用cn=3n-1+2，而对任意的n（n∈N^*，n≥1），3^n-1+2为正整数，利用数列的求和公式，即可得出结论．

解答： （1）解：∵数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=（6-12t）+6（n-1）=6n-12t
而数列{b_n}的前n项和为Sn=3n-t．
∴当n≥2时，bn=(3n-t)-(3n-1-t)=2×3n-1
∴bn=

3-t，n=1 2×3n-1，n≥2

（2）证明：∵数列{b_n}是等比数列，∴3-t=2×3^1-1=2，∴t=1
∴a_n=6n-12，bn=2×3n-1
而bn+1=2×3n，acn=6cn-12，
要使bn+1=acn成立，则bn+1=2×3n=6cn-12，
∴cn=3n-1+2，而对任意的n（n∈N^*，n≥1），3^n-1+2为正整数
∴对任意的n（n∈N^*，n≥1），均存在正整数c_n，使得bn+1=acn成立．
∴数列{c_n}的前n项和Tn=2n+

1×(1-3n)

1-3

=

3n-1

2

+2n

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，正确应用等差数列、等比数列的通项公式是关键．