Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值；
（3）求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出BF⊥AE，CB⊥AB，从而得到CB⊥平面ABE，由此能够证明AE⊥平面BCE．
（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-E的正弦值．
（Ⅲ）求出

AD

=（0，0，2），由此利用向量法能求出点D到平面ACE的距离．

解答： （1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，
∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE．
（2）解：以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OE=1，∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），
∴

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2），
设平面AEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

AE • n =0 AC • n =0

，即

x+y=0 2y+2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
又平面BAC的法向量为

m

=（1，0，0），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
设二面角B-AC-E的平面角为θ，
则sinθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴二面角B-AC-E的正弦值为

6

3

．
（Ⅲ）解：∵AD∥z轴，AD=2，
∴

AD

=（0，0，2），
∴点D到平面ACE的距离：
d=

| AD • n |

| n |

=

2

3

=

2

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．