Question

设f（x）对任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证f（x）是R上的减函数；
（2）若f（1）=-

2

3

，求f（x）在[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）采用赋值法，先将f（x+y）=f（x）+f（y）变形为f（x+y）-f（x）=f（y），再结合函数单调性的定义式f（x₂）-f（x₁）合理赋值，结合且当x＞0时，f（x）＜0判断差的符号，解决问题．
（2）结合单调性，f（2），f（3）分别是最大值、最小值，再利用f（x+y）=f（x）+f（y）结合f（1）的值求解．

解答： 解：（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y），所以f（x+y）-f（x）=f（y），
则任取x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又因为当x＞0时，f（x）＜0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0
所以f（x₂）＜f（x₁），所以函数f（x）是减函数．
（2）结合（1）可知，函数f（x）在[2，3]上是减函数，
结合f（x+y）=f（x）+f（y），
所以y_min=f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×(-

2

3

)=-2，
y_max=f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×(-

2

3

)=-

4

3

．
所以该函数在[2，3]上的最大值为f（2）=-2，最小值为f（3）=-

4

3

．

点评：抽象函数的单调性问题只能用定义，因此要合理对已知等式中的x，y合理赋值，变换出f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）是解题的关键．已知特定的函数再求值的问题，一般是赋值法．