Question

求下列曲线的标准方程
（1）焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）且过（

2

，-

6

2

）的椭圆；
（2）渐近线为y=±

2

3

x且焦距为2

13

的双曲线．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用椭圆焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）且过（

2

，-

6

2

），建立方程，求出a，b，即可求得椭圆方程；
（2）设双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=λ，分类讨论，利用焦距为2

13

，可得双曲线方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆焦点为F₁（-1，0）和F₂（1，0）且过（

2

，-

6

2

），
∴a²-b²=1，

2

a2

+

3 2

b2

=1，
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=λ
λ＞0时，9λ+4λ=13，∴λ=1，∴双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=1；
λ＜0时，-9λ-4λ=13，∴λ=-1，∴双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=-1．

点评：本题考查椭圆、双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．