Question

如图，PB⊥平面ABC，△ABC为直角三角形，PB=BC=AC，∠ACB=90°．
（1）求PA、PC与平面ABC所成的角的大小；
（2）求PA与平面PBC所成的角的正弦值；
（3）试比较∠PAC与∠PAB的正弦值的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）由PB⊥平面ABC，得∠BCP中PC与平面ABC所成的角，∠BAP中PC与平面ABC所成的角，由此能求出PA、PC与平面ABC所成的角的大小．
（2）由PB⊥平面ABC，得AC⊥PB，从而AC⊥平面PBC，∠APC为直线AP与平面PBC所成的角，由此能求出PA与平面PBC所成的角的正弦值．
（3）sin∠PAC=

PC

PA

，sin∠PAB=

PB

PA

，由此能求出∠PAC的正弦值大于∠PAB的正弦值．

解答： 解：（1）∵PB⊥平面ABC，
∴∠BCP中PC与平面ABC所成的角，
∵PB=BC，∴∠BCP=45°，
∴PC与平面ABC所成的角为45°．
∵PB⊥平面ABC，
∴∠BAP中PC与平面ABC所成的角，
∵PB=BC=AC，∠ACB=90°，
AB=

2

PB，
∴tan∠BAP=

2

2

，
∴PA与平面ABC所成的角为arctan

2

2

．
（2）∵PB⊥平面ABC，∴AC⊥PB，
∵△ABC为直角三角形，PB=BC=AC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
∴∠APC为直线AP与平面PBC所成的角，
设PB=BC=AC=1，则PC=

2

，AP=

3

，
∴sin∠APC=

AC

AP

=

1

3

=

3

3

．
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为

3

3

．
（3）sin∠PAC=

PC

PA

=

2

3

=

6

3

，
sin∠PAB=

PB

PA

=

1

3

=

3

3

，
∴∠PAC的正弦值大于∠PAB的正弦值．

点评：本题考查角的大小的求法，考查角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．