Question

已知f（x）=x³-kx²+x-5在R上单调递增，记△ABC的三内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且a²+c²≥b²+ac
（1）求实数k的取值范围；
（2）求角B的取值范围；
（3）若不等式f[m+sin²B+cos（A+C）]＜f（2

m

+

33

4

）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=x³-kx²+x-5在R上单调递增转化成f′（x）≥0对于x∈R恒成立，再进一步计算；
（2）由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

，得cosB≥

1

2

，从而求解；
（3）根据f（x）的单调性，得到m+sin²B+cos（A+C）＜2

m

，结合着三角形中，cos（A+C）=-cosB，化简为m-2

m

-

33

4

＜cos2B+cosB-1，只需要m-2

m

-

33

4

＜（cos²B+cosB-1）_min，再通过计算即可．

解答： （1）∵f（x）=x³-kx²+x-5在R上单调递增，
∴f′（x）=3x²-2kx+1≥0对于x∈R恒成立．
即△=（-2k）²-3×4≤0，
∴-

3

≤k≤

3

．
（2）∵a²+c²≥b²+ac，
∴a²+c²-b²≥ac，
由余弦定理得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

ac

2ac

≥

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

．
（3））∵f（x）=x³-kx²+x-5在R上单调递增，
∴m+sin²B+cos（A+C）＜2

m

+

33

4

，又cos（A+C）=-cosB，
∴m-2

m

-

33

4

＜-sin2B+cosB，
又-sin²B+cosB=cos²B+cosB-1=(cosB+

1

2

)2-

5

4

，
∵

1

2

≤cosB＜1，∴(cosB+

1

2

)2-

5

4

≥-

1

4

∴m-2

m

-

33

4

＜-

1

4

，且m≥0，
计算得，m∈[0，16）．

点评：本题是解三角形和函数知识的结合，属于常规题，题目中涉及到的知识点有用导数研究函数的单调性，余弦定理，三角函数的相关性质等等．只要熟知基本知识点，在处理的过程中就没有什么困难．需要提醒的是在计算（cos²B+cosB-1）_min时，注意结合着三角形中角B的范围，以避免出错．