Question

18．设[x]表示不大于x的最大整数，例如：[-2.1]=-3，[3.4]=3．集合A={x|[x]²-2[x]=3}，集合B={x|0＜x+2＜5}，则A∩B等于（　　）

• A． {1，$\sqrt{7}$}
• B． {-1，$\sqrt{7}$}
• C． {1，$\sqrt{7}$，-$\sqrt{7}$}
• D． {1，-1，$\sqrt{7}$，-$\sqrt{7}$}

Answer 1

分析 求出A中x的值确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．

解答 解：设x=[x]+b，0≤b＜1，即[x]=x-b，
方程x²-2[x]-3=0，整理得：x²-2x+2b-3=0，
即2b=4-（x-1）²，
∵0≤2b＜2，
∴0≤4-（x-1）²＜2，即2＜（x-1）²≤4，
开方得：$\sqrt{2}$＜x-1≤2或-2≤x-1＜-$\sqrt{2}$，
解得：1+$\sqrt{2}$＜x≤3或-1≤x＜1-$\sqrt{2}$，
∴[x]∈{-1，2，3}，
当[x]=-1时，x²-2[x]-3=x²-1=0，
解得：x=±1（根据[x]=-1，正值舍去），即x=-1；
当[x]=2时，x²-2[x]-3=x²-7=0，
解得：x=±$\sqrt{7}$（根据[x]=2，负值舍去），即x=$\sqrt{7}$；
当[x]=3时，x^2-2[x]-3=x^2-9=0，x=±3，
（根据[x]=3，负值舍去），即x=3，
∴A={-1，√7，3}，
∵B中不等式解得：-2＜x＜3，即B=（-2，3），
∴A∩B={-1，$\sqrt{7}$}，
故选：B．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．