Question

9．在△ABC 中，点D在直线AC上，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，点E在直线BD上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DE}$，若$\overrightarrow{AE}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{AC}$，则λ₁+λ₂=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{9}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 根据三角形法则表示出$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{BE}$，将$\overrightarrow{BE}$代入表示出$\overrightarrow{AE}$，确定出λ₁与λ₂的值，即可求出所求式子的值．

解答 解：由三角形法则得：$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BE}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{BD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{3}{2}$（$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{3}{2}$[-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）]=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴λ₁+λ₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 此题考查了平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．