Question

某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资x（单位：万元）满足：f（x）=alnx-bx+3（a，b∈R，a，b为常数），且曲线y=f（x）与直线y=kx在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图象经过点（4，4）．
（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（Ⅱ）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元．问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据：ln=10=2.303，ln15=2.708，ln20=2.996，ln25=3.219，ln30=3.401）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）根据条件分别求出a，b，即可求出甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（Ⅱ）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，建立函数关系，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．

解答： 解：（I）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=

a

x

-b，
∵（1，3）在直线y=kx上，
∴k=3，
∵曲线y=f（x）与直线y=kx在（1，3）点相切，
∴

f′(1)=a-b=3 f(1)=-b+3=3

，解得

a=3 b=0

，
即甲产品的利润y与投资x的关系式：f（x）=3lnx+3，
乙产品的利润与投资资金间的函数关系式g（x）=m•

x

；
将（4，4）代入函数g（x）得

4

m=4，解得m=2．
故g（x）=2

x

，（x＞0）．
（Ⅱ）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且x∈[10，30]，
则该公司所得利润为：y=3lnx+3+2

40-x

，
则函数的导数f′（x）=

3

x

-

1

40-x

，
由f′（x）＞0得10≤x＜15，
由f′（x）＜0得15＜x≤30，
即当x=15时，函数取得极大值，同时也是最大值，
即最大值为y=3ln15+3+2

40-15

=3×2.708+13=21.124万元．
故当甲产品投资15万元，则乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元．

点评：本题主要考查函数的应用问题，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．考查导数的优化问题．