Question

已知函数f（x）=

lnx

1+x

-lnx，则有下列结论中错误的是（　　）

• A、?x₀∈R，f（x）=0
• B、若x₀是f（x）的最大值点，则f（x₀）=x₀
• C、若x₀是f（x）的最大值点，则f（x₀）＜

  1

  2

• D、若x₀是f（x）的极大值点，则f（x）在（x₀，+∞）上单调递增

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先求函数f（x）=

lnx

1+x

-lnx的定义域为（0，+∞），再求导并化简f′（x）=

1

x

（

1

1+x

-1）-lnx

1

(1+x)2

=-

lnx+x+1

(1+x)2

；从而对四个选项判断即可．

解答： 解：函数f（x）=

lnx

1+x

-lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

（

1

1+x

-1）-lnx

1

(1+x)2

=-

lnx+x+1

(1+x)2

；
∵f（1）=0，故A正确；
∵令y=lnx+x+1，
则存在x₀∈（0，

1

2

），使lnx₀+x₀+1=0；
又∵y=lnx+x+1是增函数，
故函数f（x）=

lnx

1+x

-lnx在（0，x₀）上是增函数，在（x₀，+∞）上是减函数；
故当x=x₀时，f（x）有最大值为f（x₀）=ln（x₀）（

1

1+x0

-1）=x₀；故B正确；
由以上分析知，C正确；
D不正确；
故选D．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．