Question

如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F₁（-2，0），且双曲线经过点P（2，3）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点A是双曲线的右顶点，若直线l平行于直线AP，且l与双曲线交于M，N两点，若|

AM

+

AN

|=4，试求直线l的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线的方程，可得c=2，代入P的坐标，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程；
（2）求出直线PA的斜率，设出直线l的方程y=3x+t，联立双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，再由条件|

AM

+

AN

|=4，化简即可得到t的方程，解得t，注意检验即可得到所求直线方程．

解答： 解：（1）设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），
则c=2，

4

a2

-

9

b2

=1，a²+b²=4，
解得，a=1，b=

3

．
则双曲线的标准方程为x²-

y2

3

=1；
（2）A（1，0），直线AP的斜率为

3

2-1

=3，
由直线l平行于直线AP，可设直线l：y=3x+t，
联立双曲线方程，消去y，可得6x²+6tx+t²+3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则判别式36t²-24（t²+3）＞0，即有t²＞6．
x₁+x₂=-t，y₁+y₂=3（x₁+x₂）+2t=-t，
由|

AM

+

AN

|=4，得（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²=16，
即（2+t）²+t²=16，即有t²+2t-6=0，
解得，t=-1±

7

．
由于（

7

-1）²＜6，则舍去；（-

7

-1）²＞6，满足判别式大于0．
则有直线l的方程为y=3x-1-

7

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和判别式，考查运算能力，属于中档题和易错题．